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群论如实由很多不同类型的群组成，其中有五个基本群在表面上特等紧迫，何况为调节更复杂的群结构提供了基础。为了确认每个群是如何构建的，咱们需要从对称性（symmetry）运转。对称性是指一个物体在经由某些操作后仍保合手不变的性质。
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以海星为例，每转72度，它看起来和之前沟通。为了扩充这种倡导，需要配置三个要求。
率先，识别物体中悉数相似的部分，并赋予它们一个编号。
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其次，尝试找出不错对该物体实践的操作，这些操作不错再行摆设编号的部分，同期占据沟通的空间。这些操作不错是旋转、翻转、平移或反射等。它们的共同秉性是不会篡改物体的举座体式或尺寸，仅仅再行摆设了物体的编号部分，并确保物体仍然占据沟通的空间。
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第三，列出悉数可能的组合。
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这在数学上不是很实用，是以移除矩形，只高傲疑望。
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这个图从究诘“物体在空间中的特定摆设或情景”调度为究诘操作。虚线箭头高傲的是垂直翻转，而实线示意水平翻转。
咱们不错进一步简化它，不是用完整的短语，而是选择情怀和节点。这些至极被称为节点。的第一个节点是来源节点，绚丽为N。
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箭头变成了线，天然穷乏箭头头部，咱们仍然称之为箭头。蓝色代表水平翻转，禁止于B节点，红色代表垂直翻转，禁止于R节点。咱们知谈，每次示意干系时皆不会使用图表，履行上以代数步地抒发它。再次看图，发现RB等于BR，两者皆禁止在RB节点。因此，更简单地示意为RB=BR。
显然这是一个特等通俗的例子，但这里有一个特等紧迫的点，咱们刚才画的是一个群，它的可视化，更具体地称为克莱因4元群（Klein-4，记为V4）。趁便提一下，悉数的节点皆是它的元素，是以当咱们说N是V4的元素时，抒发为
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克莱因四元群属于阿贝尔群眷属（abelian groups），但在长远究诘它们之前，咱们需要了解一个更基本的群眷属，称为轮回群（cyclic groups）。它们是最基本的，因为它们唯有旋转对称性，这意味着对轮回群只可作念一件事，那便是旋转它。
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轮回群络续被定名为C_n，n是元素的数目或它们的阶。络续咱们会给一个节点分派一个恒等元“零”，因为旋转一个有n个叶片的螺旋桨n次会回到来源，这内容上等同于从未旋转过。
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因此，在代数上，C_5示意为这么：
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每次旋转皆朝咱们选择的标的（不行是两个标的），
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在这个例子中，每个群的元素皆是通过反复加一世成的，但数字不会无尽加多，达到n后会回到零，这便是所谓的模加法（modular addition）。
要是用凯莱表（Cayley table）来示意这少量，
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会清楚地看到近似2+3=0或4+3=2这么的情况。正如之前提到的，其他群族不错从轮回群构建而成。因此，为了调节这少量，咱们需要调节如安在其他类型的群中找到轮回群。
筹商这个图S_3，
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蓝色的箭头示意旋转或r。要是从单元元素e运转，会看到在外部描述出一个与C_3透彻沟通的轨迹。这个术语称为r的轨谈，它们络续像聚合一样写在整个。
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悉数的轮回群皆是阿贝尔群，这天然引出了阿贝尔群眷属。履行上，阿贝尔群不错从轮回群构建而成。阿贝尔群是指那些操作划定卑不足谈的群。回思一下咱们之前的V_4例子，要是R和B是阿贝尔群中的两个操作，那么操作R后再操作B，效果与先操作B再操作R沟通，这示意为RB=BR。这个读作R与B可交换，因此阿贝尔群是可交换的。
这在视觉上可能可想而知，但要是望望这两个特等相似的图，
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其中一个是D_4，另一个是C_2×C_4。仔细不雅察会发现，关于D_4，先蓝色再红色，和先红色再蓝色获取的节点不同，
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因此RB不等于BR，但另一个群则非常。
在凯莱表中它们也很容易识别，因为它们险些是互相的镜像。
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要是你将表沿对角线对折，战役到的元素是沟通的。
轮回群只可展示旋转对称的物体。那么要是思旋转它并将其翻转呢？有稳妥这种情况的群吗？有的，这便是二面体群（Dihedral groups），它不错旋转和翻转。二面体群步地的物体也具有双边对称性，这意味着它们在反射时看起来沟通。它们络续写稿D_n。
咱们在C_n中能作念的悉数操作也不错在D_n中进行，因为它触及旋转。但由于D允许翻转，因此D_n中的操作数目是C_n的两倍。在二面体群中，每种可能的旋转皆有一种可能的翻转。取一个等边三角形并给悉数的角编号，
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咱们不错旋转它，这相等于C_3的旋转，这个顺时针的旋转不错称为r，C_3副本便是r的轨谈。但咱们也不错通过翻转三角形获取另外三个位置，将总和升迁到六个。
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D_n图的外环是r的轨谈，是轮回群C_n的副本，它们顺时针旋转。内环亦然旋转，但为逆时针旋转。f操作运动内环和外环。
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乘法表清楚地高傲了这少量，咱们不错将其分为四个特等明确的象限。
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在这个D_5的例子中，不错称它们为“翻转”和“未翻转”。
到当今为止，咱们主要究诘了体式，但要是思要再行摆设群的元素会如何？这些再行摆设属于咱们将究诘的终末两个群族：对称群和瓜代群。它们是构建群的完好用具，因为它们昌盛群的四个要求：
它们有一组预界说的永不篡改的操作，
每个操作唯有一种确认，
一语气实践的一系列操作亦然一个操作，
何况每个摆设皆是不错逆转的。
还难忘之前提到的S_3吗？S代表对称，S_n代表n个事物的悉数摆设组成的群，或称为对称群。S3是咱们迄今遭遇的唯独对称群，它很小，但跟着n的增大，它们变得愈加引东谈主介怀。它们的限制增长特等快，S_n中的n是阶乘。特等S_5后，凯莱图表变得特等难以绘图。但S_4仍然不错很好地摆设。S_4有四个元素，是以有24种可能的摆设。红色箭头示意摆设“2到4，4到3，3到2”，蓝色箭头示意摆设“1到2，2到1”。
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尽管元素的聚合不错造成一个群，但创建摆设群并不一定需要取悉数给定大小的摆设。仍然不错使用S_n的一部分摆设造成一个群。一种步履是通过瓜代群，它只取S_n中一半的元素，但不是赶紧的一半。瓜代群A_n由S_n中的偶摆设组成。举个例子，
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它展示了S_3中每个摆设在宽泛时的举止。当咱们对一个摆设宽泛时，履行上是将它一语气欺骗两次。“1”是恒等摆设“1 2 3”，或通俗记作“id”。将其宽泛意味着id ○ id = id，因此效果是恒等元素。
接下来是两个元素的交换，举例交换元素1和2，宽泛它意味着
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这等于恒等元，因为交换两次会对消交换，因此它仍然是恒等元，是以它是一个奇摆设。2和3交换亦然一样的道理。
第五和第六行的摆设产生了两种不同的换位
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先“1 2”，再“2 3”，因此它是偶摆设。终末一个亦然偶摆设。因此，在6个可能的摆设中，咱们获取了三个，瓜代群A_3。
在凯莱图中，瓜代群的摆设是对称群摆设的一半。举例，瓜代群A_4摆设在一个截顶四面体上，而这是S_4的截顶八面体的一半。
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这一切引出了凯莱定理，它指出，群论的悉数内容皆不错在摆设中找到。
凯莱定理（Cayley's Theorem）是群论中的一个紧迫定理乱伦图片，标明每一个有限群皆同构于某个对称群的一个子群。换句话说，任何群皆不错通过某种步地示意为对称群（即摆设群）的一个子群。这意味着每个群的元素不错看作是对一些聚合的元素进行摆设的置换。
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